«Торможение» спутника в атмосфере

Представим спутник, находящийся на круговой орбите в верхних, разреженных слоях атмосферы. Хорошо известно, что он будет постепенно приближаться к Земле, войдет в плотную атмосферу и сгорит. Но вот что удивительно. Пока спутник находится в разряженной атмосфере, его орбиту можно приблизительно продолжать считать круговой, но с постепенно меняющимся радиусом.

Из курса физики известна формула, связывающая центростремительное ускорение на круговой орбите и силу притяжения Земли:

Из полученной формулы первой космической скорости следует, что скорость спутника обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса орбиты.

Спутник тормозится, радиус R+h орбиты уменьшается, а скорость возрастает! Здесь что-то не то с законом сохранения энергии: ведь при «торможении» часть механической энергии переходит в тепло, а при этом кинетическая энергия, вместо того чтобы уменьшатся, увеличивается.

Парадокс разрешается достаточно просто. Все ли учтено в балансе энергий? Нет. Оказывается забытой потенциальная энергия притягивающихся тел – спутника и Земли:

При приближении спутника к Земле она уменьшается, и этого уменьшения хватает как на прирост кинетической энергии спутника, так и на нагревание атмосферы за счет трения.