Элементы теории относительности

Постулаты специальной теории относительности

В классической механике считается, что длина и время являются величинами абсолютными, а скорость и перемещение – относительными. Механический принцип относительности (принцип Галилея) заключается в том, что все механические явления протекают одинаково в любой инерциальной системе отчета. Галилей не задумывался о других явлениях, т. к. в те времена механика составляла, по существу, всю физику. До середины XIX в. считалось, что все физические явления можно объяснить на основе механики
Ньютона.

В середине XIX в. была создана теория электромагнитных явлений (теория Максвелла). Оказалось, что уравнения Максвелла изменяют свой вид при галилеевых преобразованиях перехода от одной ИСО к другой. Возник вопрос о том, как влияет равномерное прямолинейное движение на все физические явления. Перед учеными встала проблема согласования теории электромагнетизма и механики.

Задача была трудной, т.к. законы классической механики прекрасно подтверждались в обширной области явлений (от статики до небесной механики), замечательно служили практике, и изменять это казалось абсурдным. Поэтому многие ученые пытались построить теорию электродинамики так, чтобы она соответствовала классической механике.

Согласно теории Максвелла свет распространяется со скоростью 300000 км/с. спрашивается, относительно чего свет движется с такой скоростью. Если свет – волна, и если волна распространяется в среде, то свет движется относительно какой то среды. Эта светоносная среда получила название эфира. Интерес к эфиру возрос, когда стало ясно, что созданная Максвеллом теория оказалась успешной и вроде бы свидетельствовала о том, что эфир можно наблюдать.

В 1881 г. американские ученые А. Майкельсон и Р. Морли (см. приложение) с помощью оригинального интерферометра попытались обнаружить движение Земли относительно эфира. Опыт многократно повторяли в течении длительного времени. Результат оказался отрицательным: никакого движения Земли относительно эфира обнаружить не удалось. Различные «эфирные теории» завели физику в тупик.

В 1905 г. А. Эйнштейн, отвергнув гипотезу эфира, предложил специальную (частную) теорию относительности, на основе которой можно совместить механику и электродинамику. В своей работе «К электродинамике движущихся тел» Эйнштейн сформулировал два принципа (постулата) теории относительности.

I постулат: все законы природы имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

II постулат: скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Она не зависит от скорости источника и приемника света.

Чтобы сформулировать эти постулаты, нужна была большая научная смелость, т.к. они противоречили классическим представлениям о пространстве и времени.

Итак, современная физика подразделяется на:

• классическую механику, которая изучает движение макроскопических тел с малыми скоростями;
• релятивистскую механику, которая изучает движение макроскопических тел с большими скоростями;
• квантовую механику, которая изучает движение микроскопических тел с малыми скоростями;

релятивистскую квантовую физику, которая изучает движение микроскопических тел с произвольными скоростями.

Приложение

Опыт Майкельсона-Морли

В таком опыте скорость движения системы отсчета должна быть достаточно большой. Близкой к инерциальной можно считать систему отсчета, связанную с Землей. При движении вокруг Солнца Земля пролетает за одну секунду 30 км, при этом из-за большого радиуса орбиты ее траектория отклоняется от прямолинейной траектории всего на три миллиметра. В опыте Майкельсона луч света от источника распространялся в направлении движения Земли и проходил через полупрозрачное зеркало S, расположенное под углом 45° к направлению распространения луча. Зеркало S разделяло один луч на два. Первый луч L₁ распространялся в направлении, перпендикулярном движению Земли, до зеркала М₁ и от него приходил к наблюдателю. Второй луч распространялся в направлении движения Земли, отражался зеркалом М₂, возвращался к зеркалу S и от него к наблюдателю. Пусть расстояния L₁ и L₂ точно одинаковы. Согласно классической механике из-за движения прибора вместе с Землей со скоростью  время, затрачиваемое первым и вторым лучами на прохождение этих расстояний, было бы различным.

Однако, как показал опыт, движение Земли вокруг Солнца не влияет на скорость распространения света.

Следствия из постулатов СТО

 

1. Относительность одновременности событий

Принято считать, что события в точках А и В произошли одновременно, если световые сигналы, испущенные ими, приходят одновременно в точку С, находящуюся посередине между точками А и В.

Но так будет происходит в системе отсчета К₁, связанную с кораблем. В системе отсчета К, относительно которой корабль движется со скоростью v, световая волна из точки А должна проходить большее расстояние до точки С, чем световая волна из точки В, т.к. точка А удаляется от точки С, а точка В приближается к ней. Это приведет к тому, что световая волна из точки В придет раньше в точку С, чем световая волна, идущая из точки А.

Два события в точках А и В одновременные в СО К₁, неодновременны в СО К. Но обе СО К и К₁ равноправны. Следовательно,
одновременность пространственно разделенных событий относительна.

 

Задача 1. Неподвижный наблюдатель 1 увидел, что одновременно зажглись фонари. Были ли эти два события одновременными для наблюдателей 2 и 3?

 

 

2. Относительность промежутков времени

Пусть ИСО К покоится, а система отсчета К₁ движется относительно системы К со скоростью v.

Пусть интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке ИСО К₁ равен τ₀.

Тогда интервал времени между этими же событиями в системе К будет выражаться формулой:

это эффект замедления времени в движущихся системах отсчета. Если v<<c, то величиной  можно пренебречь, тогда τ=τ₀ и никакого замедления в движущихся системах можно не учитывать.

Замедление времени позволяет, в принципе, осуществить «путешествие в будущее». Пусть космический корабль, движущийся со скоростью v относительно Земли, совершает перелет от Земли до звезды и обратно. За время t₀ свет проходит путь от Земли до звезды:

L₀=c×t₀

Продолжительность полета по часам земного наблюдателя равна:

Настолько постареют люди на Земле к моменту возвращения космонавтов. По часам, установленным на космическом корабле, полет займет меньше времени:

по принципу относительности, все процессы на космическом корабле, включая старение космонавтов, происходит так же, как и на Земле, но не по земным часам, а по часам, установленных на корабле. Следовательно, к моменту возвращения на Землю космонавты постареют только на время τ₀.

Задача 2. Какое время пройдет на Земле, если в космическом корабле, движущемся со скоростью 0,8с относительно Земли, пройдет 21 год?

Задача 3. С какой скоростью будет двигаться космический корабль относительно земли, принятой за неподвижную систему отсчета, если ход времени на корабле замедлится в 2 раза с точки зрения земного наблюдателя?

3. Относительность расстояний

Расстояние не является абсолютной величиной, а зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Обозначим через l₀ длину в СО К₁, относительно которой стержень покоится. Тогда длина l этого стержня, измеренная в системе отсчета К, относительно которой стержень движется со скоростью v, определяется формулой:

длина стержня зависит от того, в какой СО она измеряется. Один и тот же стержень имеет различную длину в различных СО. Максимальную длину l₀ стержень имеет в СО, в которой он покоится. В системе же, движущейся по отношению к стержню, он имеет длину тем меньшую, чем больше скорость движения. Если рассматривать движущееся тело, то сокращаются только его продольные размеры.

Задача 4. Длина линейки, неподвижной относительно земного наблюдателя, 1 м. Какова ее длина для того же наблюдателя, если линейка движется относительно него со скоростью 0,6с, направленной вдоль линейки?

4. Сложение скоростей в СТО

Классический закон сложения скоростей не может быть справедлив, т. к. он противоречит утверждению о постоянстве  скорости света в вакууме. Если поезд движется со скоростью v и в вагоне в направлении движения поезда распространяется световая волна, то ее скорость относительно Земли все равно с, а не v+c.

Рассмотрим две системы отсчета.

В системе К₀ тело движется со скоростью v₁. Относительно же системы К оно движется со скоростью v₂. Согласно закону сложения скоростей в СТО:

.

Если v<<c и v₁<<c, то слагаемым  можно пренебречь, и тогда получим классический закон сложения скоростей: .

При v₁=c скорость v₂ равна с, как этого требует второй постулат теории относительности:

При v₁=c и v=c скорость v₂ вновь равна скорости с.

Замечательным свойством закона сложения является то, что при любых скоростях v₁ и v (не больше с), результирующая скорость v₂ не превышает с. Скорость движения реальных тел больше, чем скорость света, невозможна. Допустим, что два тела движутся навстречу друг другу со скоростями 200 000 км/с, тогда по классической формуле сложения скоростей получим:

а по закону сложения скоростей в СТО v₂=277 000 км/с.

 

Задача 5. Два самолета  летят навстречу друг другу и имеют относительно Земли скорости 100 м/с и 50 м/с. чему равна скорость первого самолета, измеренная с борта второго самолета? Расчет произвести по классической и релятивистским формулам сложения скоростей.

Задача 6. Два космических корабля движутся относительно Земли со скоростью 0,75с в противоположных направлениях. Какова их относительная скорость с точки зрения каждого из космонавтов?

 

Закон Ньютона в релятивистской форме

 

В классической механике основным законом динамики является второй закон Ньютона:

Этот закон можно записать в другом виде через изменение импульса:

,

где  — импульс тела.

Основной закон релятивистской механики записывается в прежней форме:
,

но теперь  — релятивистский импульс.

 

Задача 1. Электрон движется со скоростью 0,6с. Определите импульс электрона.

 

Связь между энергией и массой

 

А. Эйнштейн установил основную формулу, связывающую энергию, импульс и массу движущегося тела:

В эту формулу входят релятивистские энергия и импульс.

Из основной формулы следует связь массы тела с его энергией покоя E₀:

Эту формулу можно записать и в обратную сторону:

Эта формула позволяет перевести изменения энергии взаимодействующих тел при нагревании, химических реакциях или радиоактивных превращениях в эквивалентное изменение массы тел. Так как коэффициент 1/с² очень мал, то заметные изменения массы возможны лишь при очень больших изменениях энергии. При химических реакциях или при нагревании тел в обычных условиях изменения энергии невелики, поэтому изменение массы обнаружить не удается.

В 1905 г. Эйнштейн опубликовал статью под названием «Зависит ли инерция тела от содержащейся в нем энергии?». В ней он пророчески заключил: «Не исключена возможность того, что теорию удастся проверить для веществ, энергия которых меняется в большой степени (например, для солей радия)». При превращениях атомных ядер и элементарных частиц изменения энергии оказываются весьма большими. Соответственно велики и эквивалентные изменения массы.

Лучшим примером может служить наше Солнце. В его центре происходят термоядерные реакции синтеза водорода с образованием гелия. При этом выделяется колоссальная энергия, малая доля которой дает нам жизнь. По формуле Эйнштейна об эквивалентности массы и энергии можно вычислить, какая часть массы Солнца ежесекундно превращается в излучение, и дать прогноз, что запасов термоядерного топлива на Солнце хватит еще примерно на 10 млрд. лет.

Задача 2. Вычислите энергию покоя электрона.

Задача 3. Общая мощность излучения Солнца составляет около 3,8×10²⁶ Вт. На сколько уменьшается масса Солнца в 1 с?

Задача 4. На сколько увеличится масса воды в озере объемом 10⁶ м³ при ее нагревании на 22 К?

 

Н. А. Кормаков. Теория относительности. 11-й класс. Базовый курс. Пособие для учащихся